PROBABILIDADES POR MÉTODO DE EXPANSIÓN BINOMIAL Y FACTORIAL

Expansión binomial:

Es un método algebraico que se utiliza para calcular probabilidades con cualquier combinación pero solo con dos posibles resultados, en un conjunto de unidades que participan en el evento.

Binomio de newton

Para encontrar las probabilidades en un evento, podemos utilizar el método del binomio de Newton, el cual tiene diferentes componentes que debemos conocer para identificarlos y desarrollarlo correctamente.

• Donde a y b son los posibles resultados
• n= Es el número de unidades o individuos que participan en un evento.
• Los valores de (a) van disminuyendo a medida que avanzamos en el desarrollo del binomio.

       a⁴ +a³ +a² +a +__

3   

•         Los valores de (b) van aumentando a medida que avanzamos en el desarrollo del binomio.

        b+b²+b³+b⁴

• Como ejemplo, un binomio con 4 individuos o unidades participando en un evento se desarrollaría así:

4                   (a +b)⁴ =  a⁴ + a³b + a² b²+ ab³+ b⁴

•         Los exponentes de cada termino representan las posibles combinaciones. Ejemplo a³b significa; exponente de a que es 3 es igual a 3 individuos o unidades y  el exponente de b que es 1es igual a 1 individuo o unidad.
•       Para encontrar el coeficiente de cada termino, se multiplica el primer coeficiente que siempre es 1 x el primer exponente de (a) y el resultado se divide entre el número o posición del término, que este caso sería el primero o sea 1. Una vez que obtenemos el coeficiente lo colocamos en el segundo término y lo multiplicamos por el exponente que está en (a) y finalmente lo dividimos por la posición del término y continuamos hasta encontrar todos los coeficientes.
• 

             El primer coeficiente en el binomio es uno y no se escribe.  

             Cada coeficiente se multiplica por un exponente de (a).

             El binomio desarrollado se expresa así:

•        A partir del desarrollo del binomio encontramos el coeficiente.
•       Cada coeficiente representa las posibles formas en que ocurren las combinaciones.

      Método factorial

     Es un método que utiliza la notación. ! significa factorial e indica que el numero que lo posee, debe multiplicarse comenzando desde él hasta la unidad misma o sea el numero 1.
     Ejemplo: 4!= 4x3x2x1, si fuera 6!= 6x5x4x3x2x1 y así sucesivamente.

     

       Para comprender el desarrollo de este método, debemos conocer que:

        4!, se lee cuatro factorial.

       y que se desarrolla mediante la formula:

donde: P: probabilidad.

                                                                    n: número de acontecimientos.

                                                       a y b: posibles combinaciones 

       A partir de esta formula encontramos el coeficiente del termino.        

      
             

       Ejemplo;
     Si se lanzan 6 moneda al aire al mismo tiempo. ¿ Cual es la probabilidad de que caiga 3 caras y 3 letras? utilice los dos métodos para encontrar las respuestas.