PROBABILIDADES POR MÉTODO DE EXPANSIÓN BINOMIAL Y FACTORIAL

Expansión binomial:

Es un método algebraico que se utiliza para calcular probabilidades con cualquier combinación pero solo con dos posibles resultados, en un conjunto de unidades que participan en el evento.

Binomio de newton

Para encontrar las probabilidades en un evento, podemos utilizar el método del binomio de Newton, el cual tiene diferentes componentes que debemos conocer para identificarlos y desarrollarlo correctamente.

• Donde a y b son los posibles resultados
• n= Es el número de unidades o individuos que participan en un evento.
• Los valores de (a) van disminuyendo a medida que avanzamos en el desarrollo del binomio.

       a⁴ +a³ +a² +a +__

                  Los valores de (b) van aumentando a medida que avanzamos en el desarrollo del binomio.

         b+b²+b³+b⁴

Como ejemplo, un binomio con 4 individuos o unidades participando en un evento se desarrollaría así:

                  (a +b)⁴ =  a⁴ + a³b + a² b²+ ab³+ b⁴

       Los exponentes de cada termino representan las posibles combinaciones. Ejemplo a³b significa; exponente de a que es 3 es igual a 3 individuos o unidades y  el exponente de b que es 1es igual a 1 individuo o unidad.

      Para encontrar el coeficiente de cada termino, se multiplica el primer coeficiente que siempre es 1 x el primer exponente de (a) y el resultado se divide entre el número o posición del término, que este caso sería el primero o sea 1. Una vez que obtenemos el coeficiente lo colocamos en el segundo término y lo multiplicamos por el exponente que está en (a) y finalmente lo dividimos por la posición del término y continuamos hasta encontrar todos los coeficientes.

             El primer coeficiente en el binomio es uno y no se escribe.  

             Cada coeficiente se multiplica por un exponente de (a).

             El binomio desarrollado se expresa así:

•        A partir del desarrollo del binomio encontramos el coeficiente.
•       Cada coeficiente representa las posibles formas en que ocurren las combinaciones.

        Método factorial

        Es un método que utiliza la notación. ! significa factorial e indica que el numero que lo posee, debe     multiplicarse comenzando desde él hasta la unidad misma o sea el numero 1.

   Ejemplo:
              4!= 4x3x2x1, si fuera 6!= 6x5x4x3x2x1 y así sucesivamente.

     

       Para comprender el desarrollo de este método, debemos conocer que:

        4!, se lee cuatro factorial y que se desarrolla mediante la formula:

donde: P: probabilidad.

                                                                    n: número de acontecimientos.

                                                       a y b: posibles combinaciones 

       A partir de esta formula encontramos el coeficiente del termino.        

      
             

 Ejemplo; 
    Si se lanzan 6 moneda al aire al mismo tiempo. ¿ Cual es la probabilidad de que caiga 3 caras y 3 letras? utilice los dos métodos para encontrar las respuestas.

PROBABILIDADES EN GENÉTICA

La probabilidad en la genética
La probabilidad es la posibilidad de predecir la ocurrencia de un evento al azar.

La genética aplica  los principios de probabilidad para obtener resultados en sus cruzamientos. Trata de predecir cuantas veces ocurrirá un evento en un numero diverso de ensayos o cuantas veces aparcera una determinada combinación en los cruces genéticos que se realicen.

Las probabilidades se expresan en fracciones simples y positivas, por ejemplo: si lanzamos una moneda al aire, veremos que esta tiene dos lados (escudo y letra), este se convierte en el denominador de la fracción. Pero cuando lanzamos la moneda, solo puede caer un lado de ella, bien cae escudo o letra, convirtiéndose este, en el numerador de la fracción (1/2). si el caso fuera un dado;  y nos preguntáramos, ¿cual es la probabilidad de que caiga el numero dos en el lanzamiento de un dado? nuestra respuesta sería 1/6; uno por que en el dado, solo existe un numero dos y seis por que el dado tiene 6 lados.

Principios de probabilidad

Primer principio o ley del producto

Enuncia: Si dos o mas eventos ocurren simultáneamente, pero son independientes entre si, esto no afectara la ocurrencia del otro, por tanto no afecta su probabilidad. Ejemplo:

Cual es la probabilidad de que al lanzar dos dados al mismo tiempo, salga el numero 4 en ambos. La respuesta es 1/ 36. Por que ambos dados son independientes, un dado no influye en el resultado del otro,  por lo que se realizara una multiplicación entre las probabilidades.

1/6 X 1/6 = 1/36 ( 1 x 1 = 1 y 6 x 6 = 36) 

 1 por que solo hay un 4 en cada dado y 6 por que tiene 6 lados cada dado.

en genética.

Cual es la probabilidad de que un progenitor AA produzca un gameto A.
La respuesta es 100%, por que el progenitor solo tiene gametos AA

Cual es la probabilidad de que un progenitor Aa produzca un gameto a
La trespuesta es 50%, por que el progenitor posee 50% A y 50% a, en la fecundación solo puede aportar uno de los dos.

Segundo principio o ley de la suma

Enuncia que si un evento puede ocurrir de diferentes formas y se excluyen mutuamente o sea que un evento impide que el otro ocurra, este sera igual  a la suma de las probabilidades.

Si una pareja desea tener 2 hijos; un niño y una niña. ¿Cuales la probabilidad de que esto ocurra?
como no menciona el orden en que quieren tener el niño y la niña, esto puede ocurrir de dos formas diferentes.

Al tener un hijo, este puede ser niño o niña, son dos alternativas que se excluyen mutuamente, pero solo una de ellas ocurrirá, por lo que la posibilidad es del 50% cada una, osea 1/2 cada uno.

Al plantearlo se realizara así:

1er evento: pueden tener la niña y después el niño
cada alternativa representa 1/2 y segun la ley del producto, 1/2 niña x 1/2 niño= 1/4
2do evento: pueden tener el niño y después la niña,
cada alternativa representa 1/2 y segun la ley del producto, 1/2 niño x 1/2 niña= 1/4


Para resolver ejercicios de probabilidades, también podemos utilizar la letra "Y" como indicativo de una multiplicación y la letra "O" como una suma.

ejemplo: 

Suponga que en el Progreso Yoro, 3 de cada 5 muchachos, le gusta el futbol y 1 de cada 2 muchachos son aficionados al equipo Honduras Progreso.

¿ Cual es la probabilidad de que el próximo muchacho que pase por tu lado le guste el futbol y  sea aficionado al equipo honduras progreso?

R// 2/4   x  1/ 8=  2/32, lo reducimos a la mímima expresión, obtenemos mitad de cada factor en la fracción; finamente la probabilidad es 1/16 osea que de cada 16 muchachos que pasen por su lado solamente a 1 le gustara el futbol y el Honduras Progreso.

¿ Cual es la probabilidad de que el próximo muchacho que pase por tu lado le guste el futbol o  sea aficionado al equipo honduras progreso.

R//  2/4 + 1/8=  4+1 = 5/8
                            8

Para obtener este resultado, se realiza una suma de fracciones; se obtiene el minimo cumn multiplo que es 8, luego se divide 8 entre 4= 2 y se multiplica por el denominador 2 que es igual a 4; se repite procedimiento 8 entre 8=1 x 1= 1.

Mira que utilizamos las letras "Y", "O".  para distinguir, cuando multiplicamos y cuando sumamos.

Ejercicios para que practiques.

¿Cual es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado juntos, la moneda caiga cara y el dado el numero 3?

Carlos lanza una moneda al aire 6 veces y todas las veces cae letra, ¿Cual es la probabilidad de que la séptima vez caiga cara?

¿Cual es la probabilidad de que un gameto Ll Mm Nn, sea lmn?

Si se lanzan 2 dados al mismo tiempo ¿ Cual es la probabilidad de que uno de los dos caiga en 5 y el otro en 4?